Here I present supplementary online material concerning the QM lecture.
Section numbers in headlines refer to the respective section of the script.
The following animations show the position-space wave function ψα(x,t) from equation (3.1.128), for different choices of the maximum elongation of the mean coordinate, ⟨x(t = 0)⟩ = q0. Length is given in units of the oscillator length x0, time in units of the oscillation period T.
The red curve shows the probability density ρα(x,t) = |ψα(x,t)|2, the blue curve the real part and the green one the imaginary part of the wave function ψα(x,t).
At the classical turning points, the wave function takes the Gaussian form of the ground-state wave function, while at x = 0 momentum and thus wave number reach their maximum.
Die folgende animierte Serie von Graphen zeigt die Ortsraum-Wellenfunktion ψ(x,t) nach Gleichungen (3.2.145) und (3.2.161), welche die Reflexion sowie Transmission eines von links mit einer Wellenlänge kI = (2mE)1/2/ℏ einlaufenden Teilchens beschreibt. Für die Serie von Lösungen ist m = 1/2, E = 1 gewählt während die Höhe V0 der Potentialstufe V(x) = V0 θ(x) gemäß V0 = 10lgV0 durchgestimmt wird. In der ersten Animation ist V0 > 0, in der zweiten V0 < 0. Die Lösungen beiderseits der Stufe sind für V0 → ±∞ identisch.
Die verschiedenen Kurven zeigen: (schwarz) V0; (blau) Re(ψ(x)); (rot) Im(ψ(x)); (grau) |ψ(x)|2; (rotbraun) E = 1.
Für sehr große |V0| tritt näherungsweise Totalreflexion auf, für positive wie negative Stufe.
Pfadintegral — Relevanz der Quantenfluktuationen um den klassischen Pfad.
Die folgende animierte Serie zweier Graphen zeigt die Ortsraum-Wellenfunktion ψ(xb,tb), welche sich durch Multiplikation des Schrödinger-Propagators U(xb,tb;xa,ta) eines freien Teilchens aus Gleichung (7.2.47) mit der Eigenfunktion δ(xa) des Ortsoperators ergibt.
Da U(xb,tb;xa,ta) für tb → ta gegen eine Delta-Distribution δ(xa – xb) konvergiert und somit einem Einheitsoperator entspricht, ist das Teilchen entsprechend der Funktion δ(xa) anfangs am Ort xa = 0 lokalisiert. Die abgebildete Wellenfunktion im oberen Panel (blau: Re ψ, rot: Im ψ) zeigt dann, wie diese (auf x ∈ [–∞,∞] nicht normierbare) Wellenfunktion frei expandiert. Weiter entfernt von der anfänglichen Position ist die Wellenzahl, d.h. auch die Teilchengeschwindigkeit größer. Die gezeigte Wellenfunktion stellt also zu jeder Zeit tb effektiv eine Superposition von Aufenthaltsamplituden des Teilchens an beliebigen Orten xb dar. Die lokale Phase exp{iS[xcl](xb)}, welche sich aus dem klassischen Anteil der Wirkung ergibt, vgl. (7.2.44), ergibt sich aus der Geschwindigkeit, mit der sich ein Teilchen innerhalb der Zeit ta – tb gleichmäßig bewegen muss, um von xa = 0 nach xb gelangen zu können. Diese Geschwindigkeit muß somit in |xb| linear zunehmen.
Im zweiten Panel sind in blau die Wahrscheinlichkeitsdichte |ψ|2, in rot der Phasenwinkel θ = argψ modulo π gezeigt. Der quadratisch in |xb| zunehmende Winkel spiegelt die linear zunehmende Geschwindigkeit v = ∇θ/m wider.
Während also die Phase, in führender Ordnung der Sattelpunktsentwicklung, aus dem klassischen Pfad folgt, liefert das Gaußsche Pfadintegral über die Fluktuationen um den klassischen Pfad lediglich eine zeitabhängige Normierung der Funktion. Diese sorgt dafür, dass U(xb,tb;xa,ta) für tb → ta gegen eine Delta-Distribution δ(xa – xb) konvergiert und wie erforderlich einem Einheitsoperator entspricht. Die Superposition und komplexe Phase der Wellenfunktion ψ(xb,tb) ergibt sich demnach aber bereits ohne Berücksichtigung der Quantenfluktuationen, rein aus dem klassischen Pfad: Für das Auftreten von Interferenzphänomenen sind diese Fluktuationen zunächst irrelevant.
Dennoch spielt der Fluktuationsbeitrag eine wichtige Rolle für die Interpretation der Wellenfunktion als Wahrscheinlichkeitsamplitude, was sich zeigt, sobald man durch Einschränkung des Volumens auf ein endliches Intervall oder Wahl einer normierbaren Anfangsbedingung eine normierbare Wellenfunktion für alle Zeiten erhält. Eine solche sieht man in der dritten und vierten Animation, welche dieselbe Wellenfunktion zeigen, jetzt aber für einen Gaußsch verbreiterten Anfangszustand der Breite x0.
Für diesen Fall der Berechnung normierbarer Wellenfunktionen liefert der Fluktuationsbeitrag aus dem Gaußschen Pfadintegral die korrekte Normierung der Wahrscheinlichkeitsamplitude für alle Zeiten. Es wird aber auch klar, dass man alternativ einfach mit dem klassischen Phasenfaktor exp{iS[xcl]} arbeiten könnte, diesen etwa nutzen, um zur Zeit tb Momente ⟨ (xb)n⟩ von xb zu bestimmen und das Problem der fehlenden Normierung durch Herausteilen des Betragsquadrats der Wellenfunktion zu umgehen:
⟨ (xb)n⟩ = ⟨ψ,tb|(xb)n|ψ,tb⟩/⟨ψ,tb|ψ,tb⟩.
Hier wird nochmals klar, dass in bestimmten Fällen die relevante Information der Quantenmechanik bereits in der komplexen Phase aus dem klassischen Pfad steckt. Der Grund hierfür ist in der Tatsache zu suchen, dass der Pfadintegralbeitrag für das einfache Beispiel einer in den generalisierten Koordinaten {x,p} quadratischen Wirkung ein Gaußsches Integral darstellt, welches unabhängig vom klassischen Pfad ist. Sobald Wechselwirkungsterme hinzukommen, welche von der quadratischen Form abweichen, werden die Beiträge vom Pfadintegral auch die Phase der Wellenfunktion beeinflussen.
Die folgende animierte Serie zweier Graphen zeigt die gleiche Ortsraum-Wellenfunktion ψ(xb,tb) wie zuvor, jetzt aber für ein Teilchen im harmonischen Oszillator, siehe Gleichungen (7.2.68) und (7.2.69).
Die ersten beiden Animationen zeigen wieder die Funktionen für ein anfangs gemäß δ(xa) scharf im Minimum des Oszillatorpotentials lokalisierten Teilchens, die beiden weiteren für ein mittels einer Gaußfunktion der angegebenen Breite verschmiertes initiales Wellenpaket.
Es gilt wiederum, dass U(xb,tb;xa,ta) für tb → ta gegen eine Delta-Distribution δ(xa – xb) konvergiert und somit einem Einheitsoperator entspricht.
Die Phase folgt ebenso, in führender Ordnung der Sattelpunktsentwicklung, aus dem klassischen Pfad, und das Gaußsche Pfadintegral über die Fluktuationen um den klassischen Pfad ergibt wieder eine zeitabhängige, jetzt oszillierende Normierung der Funktion. Die Superposition und komplexe Phase der Wellenfunktion ψ(xb,tb) ergibt sich demnach wieder, auch ohne Berücksichtigung der Quantenfluktuationen, aus dem klassischen Pfad.
Dennoch spielt der Fluktuationsbeitrag wieder eine wichtige Rolle als Normierung, was sich wiederum in der 3. und 4. Animation zeigt, in denen man durch Wahl einer normierbaren Anfangsbedingung eine normierbare Wellenfunktion für alle Zeiten erhält.
